اثبات قضیه ی انتقال توان ماکزیمم

یکی از قضایای مهم و کاربردی در درس مدارهای الکتریکی، قضیه‌ی انتقال توان ماکسیممه. این قضیه ارتباط تنگاتنگی با مفاهیم ، بازده، تطبیق امپدانس و اصلاح ضریب توان دارد. جالب است بدانید این قضیه رو فردی به نام جاکوبی در سال 1840 تجربه و معرفی کرده که به همین خاطر به این قضیه، هم میگن.

قضیه به این سوال ما پاسخ می‌ده: باری که به یک منبع تغذیه (با مقاومت داخلی ثابت) وصل میشه باید چقدر باشه تا بیشترین توان رو از منبع دریافت کنه؟

فرض کنید ما یه رادار یا تلسکوپ الکترونیکی داریم که قراره امواج رو از فضا دریافت کنه. مسلما دلمون می‌خواد امواجی که جذب دستگاه ما میشن توان بالایی داشته باشن تا آشکارسازی و تجزیه و تحلیل اون ساده‌تر و دقیق‌تر بشه. اینجاست که قضیه انتقال توان ماکسیمم به درد می‌خوره.

 

مدار بالا رو در نظر بگیرین.

بر طبق قضیه انتقال توان ماکسیمم، مقدار ZL باید مساوی مزدوجِ مختلطِ Zs باشد تا حداکثر توان به ZL منتقل شود. یعنی:

Z_L=\overline{Z_S}=Z_S^*

رابطه‌ی بین توان انتقالی و بازده

نکته‌ی مهم در مورد این قضیه اینه که این قضیه تنها روشی رو برای ماکسیمم کردن توان انتقالی به بار معرفی می‌کنه، ولی ماکسیمم شدن توان انتقالی به معنای ماکسیمم شدن بهره نیست. منظور از بهره در این سیستم، نسبت توان مصرفی در بار ZL (کار مفید)، به توان تولیدی در منبع Vs (کل کار) می‌باشد. که به صورت زیر محاسبه می‌گردد:

\eta =\frac{P_L}{P_S}=\frac{R_L I^2}{(R_S+R_L)I^2}
=\frac{R_L}{R_L+R_S}=\frac{1}{1+\frac{R_S}{R_L}}

در نتیجه هرچه مقاومت بار رو افزایش بدیم، مخرج کسرکوچیکتر میشه که این یعنی بازده افزایش پیدا می‌کنه. رابطه‌ی بین بازده و توان انتقالی به بار در شکل زیر نمایش داده شده:

با توجه به رابطه‌ی بازده که در بالا بدست آوردیم، این نتایج قابل حصوله:

  • هر گاه مقاومت بار و منبع برابر باشند (هنگامی که انتقال توان ماکسیمم است)، بازده ۵۰٪ می‌باشد
  • هر گاه مقاومت بار بسیار بزرگتر از مقاومت منبع انتخاب شود، یا مقاومت منبع نزدیک به صفر باشد، آنگاه بازده به ۱۰۰٪ نزدیک می‌شود (اما باید توجه داشت که اگر برای بالا بردن بازده بخواهیم مقاومت بار را به بی‌نهایت نزدیک کنیم، آنگاه توان انتقالی به صفر نزدیک می‌شود، بنابراین روش معقول برای بالا بردن بازده کم کردن مقاومت داخلی منبع است)
  • اگر مقاومت بار صفر باشد، بازده صفر خواهد بود (زیرا تمام توان در داخل مقاومت منبع مصرف می‌گردد و توان مصرفی اتصال کوتاه، صفر است)

آیا ممکن است بازده و توان انتقالی همزمان ۱۰۰٪ شوند؟

رابطه‌ی بازده که در بالا معرفی شد برای یک مدار دی‌سی یا یک مدار ای‌سی بدون راکتانس صادقه. اما اگر مدار ما راکتیو خالص باشه (یعنی بار مقاومتی نداشته باشیم و فقط بار سلفی داشته باشیم)، یک معجزه به وقوع می‌پیونده و اون معجزه اینه که میشه همزمان هم بازده و هم توان انتقالی رو ۱۰۰٪ کرد! چیزی که در یک مدار با جریان مستقیم هرگز ممکن نیست. البته این تنها در یک مدار راکتیو ایده‌آل قابل حصوله، در یک مدار راکتیو غیر ایده‌آل (یعنی مداری که هم راکتانس داره و هم مقاومت) اگر مقدار مقاومت نسبت به مقدار راکتانس ناچیز باشه، میشه در حالی که انتقال توان ماکسیممه، به بازده‌ی بالایی هم دست پیدا کرد. این موضوع یکی از دلایلیه که در خطوط انتقال قدرتی که خیلی طولانی نیستن (مقاومتشون نسبت به راکتانسشون ناچیزه)، بهتره از جریان متناوب استفاده کنیم تا مستقیم.

اثبات قضیه برای مدارهای مقاومتی

اثبات برای مدار مقاومتی نسبتا ساده است و من فقط توضیح می‌دم و حالت کلی‌تر رو که در مدار راکتیو رخ میده اثبات خواهم کرد:
کافیه توان مصرفی بار رو بر حسب مقاومت‌ها و ولتاژ محاسبه کنیم، اونوقت ازش نسبت به مقاومت بار مشتق بگیریم و مساوی صفر قرار بدیم. نتیجه این میشه که مقاومت بار باید Rs± باشه، که چون مقاومت معمولا نمی‌تونه منفی باشه، جواب درست همون RL=Rs خواهد بود. البته از نظر ریاضی اثبات به اینجا ختم نمیشه و باید ثابت کنیم مقدار اکسترممی که پیدا کردیم، مقدار ماکسیممه، و مینیمم نیست. برای این کار باید از عبارت مورد نظر دوباره مشتق بگیریم و ثابت کنیم مشتق دوم مقداری همواره مثبت داره. (اگه یادتون باشه به این کار می‌گفتیم آزمون مشتق دوم [3]).

اشتباه رایج: تغییر مقاومت منبع

خیلی‌ها قضیه‌ی انتقال توان ماکسیمم رو اینجور تفسیر می‌کنن که «برای ماکسیمم شدن توان انتقالی، مقاومت منبع باید با مقاومت بار یک اندازه باشه» که کاملا اشتباهه! همه‌ی محاسبات ما بر مبنای این بوده که مقاومت منبع قابل تغییر نیست. اگر بخوایم توان انتقالی به یک بار ثابت رو ماکسیمم کنیم، اونوقت تنها راه ما اینه که مقاومت منبع رو به صفر نزدیک کنیم.

مثال:

فرض کنید یک منبع ولتاژ ۱۰۰ ولت با مقاومت داخلی ۱۰ اهم داریم که یک لامپ ۱۰ اهم رو روشن می‌کنه. در این حالت توان انتقالی به لامپ به صورت زیر محاسبه می‌شه:

P_L=R_L\times I_L^2=10 \times (\frac {100}{10+10})^2=250W

حالا اگه همین لامپ رو به یک منبع با مقاومت داخلی صفر وصل کنیم توان انتقالی ۱۰۰۰ وات خواهد شد:

P_L=R_L\times I_L^2=10 \times (\frac{100}{10})^2=1000W

دیدیم که اگه مقاومت داخلی منبع رو صفر کنیم، توان انتقالی نسبت به حالتی که مقاومت داخلی منبع با مقاومت بار برابر بود، بیشتر میشه.

اثبات قضیه برای مدارهای راکتیو

اگه منبع ما کاملا سلفی (خازنی) باشه، اونوقت یک بار کاملا خازنی (سلفی) با همان اندازه، می‌تونه همه‌ی توان انتقالی رو جذب کنه (که البته این توان جذبی رو بعد از یک چهارم سیکل دوباره پس میده). احتمالا می‌دونین که به همچین مداری می‌گیم مدار رزونانس LC که در آن انرژی به صورت متناوب به بار داده شده و پس گرفته می‌شود.

اساس اصلاح ضریب توان نیز همین قضیه است که در آن از راکتانس سلفی برای اصلاح ضریب‌توان بار خازنی استفاده می‌شود (هر چند هدف ما از اصلاح ضریب توان کاملا متفاوت است و به جای بالا بردن توان جذب شده توسط بار می‌خواهیم جریان خط انتقال را کاهش دهیم، به بیان دیگر اصلاح ضریب توان به این سوال پاسخ می‌دهد: چگونه توان ظاهری (S) را کاهش دهیم تا جریان عبوری در خط انتقال کاهش یابد و توان حقیقی تحویلی (P) به بار ثابت بماند؛ برای این کار سعی می‌شود بار تا حد ممکن به حالت مقاومتی نزدیک شود).

اما هدف در قضیه انتقال توان ماکسیمم چنین است: بیشینه کردن توان اکتیو (P) انتقالی به بار متغیر، در حالی که منبع راکتیو ما دارای امپدانس داخلی ثابتی است.

روش اثبات:

برای حل از روش فازوری استفاده می‌کنیم:

|I|=\frac{|V_S|}{|Z_S+Z_L|}

P_L=I_{rms}^2\times R_L= \frac{1}{2} (\frac{|V_S|}{|Z_S+Z_L|})^2 \times R_L

= \frac{1}{2} \frac{V_S^2\times R_L}{(R_S+R_L)^2+(X_L+X_S)^2}

برای بیشینه کردن عبارت نسبت به RL و XL، در حالی که Rs و Xs ثابت هستند، ابتدا فرض می‌کنیم که RL مقداری ثابت و مثبت باشد، و XLای را پیدا می‌کنیم که به ازای آن مخرج مینیمم شود. با توجه به اینکه X می‌تواند منفی باشد به دست می‌آید:

X_L=-X_S

حال باید ماکسیمم این عبارت را به ازای XL ثابت بدست آوریم که به انجام محاسباتی مشابه محاسبات حالت مقاومتی، مقدار مقاومت بار، منفی مقاومت منبع به دست خواهد آمد.

تطبیق امپدانس و انتقال توان ماکسیمم

قضیه انتقال توان ماکسیمم رابطه‌ی نزدیکی با تطبیق امپدانس داره. البته صورت مسئله در تطبیق امپدانس کمی فرق می‌کنه، اما روش کار یکیه. در تطبیق امپدانس به دنبال این هستیم که میزان انعکاس و بازگشت امواج رو به حداقل برسونیم و این کار در مباحث مخابرات و الکترونیک و حتی قدرت کاربرد زیادی داره. مسلما برای اینکه بازتاب به حداقل برسه، باید کاری کرد که همه‌ی توان انتقالی جذب بار بشه و اینجاست که تطبیق امپدانس و انتقال توان ماکسیمم معنای یکسانی پیدا می‌کنن.

در تطبیق امپدانس، امپدانس منبع (مثلا محیط انتقال) با امپدانس بار (مثل یک آنتن)، تطبیق داده میشه تا بازتاب امواج در محیط انتقال به حداقل برسه.